Generalizando o modelo para HONs

Research Reports

Autor

Timóteo Fassoni

Consideramos, primeiramente:

\(\mathcal{H} = (\mathcal{V},\mathcal{E})\), um hipergrafo onde \(\mathcal{V}\) é o conjunto de nós e \(\mathcal{E}\) o conjunto de hiperarestas;
\(\mathcal{S}=\{1,\dots,S\}\), o conjunto de estados (opiniões) possíveis;
\(\xi_t:\mathcal{V}\to\mathcal{S}\), a função que denota o estado de cada nó \(i\in\mathcal{V}\) no instante \(t\);

Modelos ingênuos

A maneira mais fácil de generalizar este modelo é sortear diretamente uma hiperaresta (ou ordem) para que ela participe da regra de seleção. Os dois casos abaixo exemplificam estes modelos simples.

Baseado em nó

Em um dado instante \(t\), um nó \(i\in\mathcal{V}\) é escolhido aleatoriamente;
Uma hiperaresta \(e_j\in\mathcal{E}\), tal que \(i\in e_j\), é escolhida aleatoriamente;
\(q\) nós pertencentes a \(e_j\) são sorteados aleatoriamente com reposição;
Se todos os nós selecionados estão no mesmo estado \(s\), então \(\xi_{t+\delta t}(i)=s\);
Caso contrário, com probabilidade \(\varepsilon\), o nó \(i\) muda para um estado aleatório \(\xi_{t+\delta t}(i)=s^{\text{r}}\in\mathcal{S}\setminus\{\xi_t(i)\}\);
O tempo é incrementado por \(\delta t = -\frac{\ln u^{\text{r}}}{N}\), com \(u^{\text{r}}\sim \mathcal{U}(0,1]\).

Baseado em hiperaresta

Em um dado instante \(t\), uma hiperaresta \(e_j\in\mathcal{E}\) é escolhida aleatoriamente;
\(q\) nós pertencentes a \(e_j\) são sorteados aleatoriamente com reposição;
Se todos os nós selecionados estão no mesmo estado \(s\), então um nó \(i\in e_j\) escolhido aleatoriamente muda seu estado para \(s\): \(\xi_{t+\delta t}(i)=s\);
Caso contrário, com probabilidade \(\varepsilon\), o nó \(i\in e_j\) muda para um estado aleatório \(\xi_{t+\delta t}(i)=s^{\text{r}}\in\mathcal{S}\setminus\{\xi_t(i)\}\);
O tempo é incrementado por \(\delta t = -\frac{\ln u^{\text{r}}}{M}\), com \(u^{\text{r}}\sim \mathcal{U}(0,1]\).

Comparação

Ambos os modelos obtêm o mesmo perfil em “step function” para a curva da probabilidade de saída \(E(\phi_0)\), mas não para a curva de tempo de saída \(\tau(\phi_0)\).

\(q\)-voter em ordem superior

Acrescentamos às definições acima as seguintes:

\(\zeta_t^i:\mathcal{E}\to\{0\}\cup\mathcal{S}\), a função que denota o estado efetivo de cada hiperaresta \(e_j\in\mathcal{E}\) sob a perspectiva do nó \(i\) no instante \(t\), sendo que \(\zeta_t^i(e_j) = 0\) indica que a hiperaresta está “inativa” (despolarizada);
\(\mathcal{V}_{t}^{i}(e_j,\sigma) = \{ k\in e_j : k\not=i \text{ e } \xi_t(k)=\sigma\}\), o conjunto de nós na hiperaresta \(e_j\) (excluindo o nó \(i\)) que se encontram no estado \(\sigma\).

A dinâmica do modelo é definida pelas seguintes regras:

Em um dado instante \(t\), um nó \(i\in\mathcal{V}\) é escolhido aleatoriamente;
\(q\) hiperarestas \(e_1,\dots,e_q\in\mathcal{E}\), tais que \(i\in e_j\), são sorteadas aleatoriamente com reposição;
Para cada hiperaresta \(e_j\) selecionada, determinamos o conjunto \(\mathcal{V}_{t}^{i}(e_j,\sigma)\) de nós em \(e_j\) (excluindo \(i\)) que estão em um dado estado \(\sigma\in\mathcal{S}\):
- Se o número de nós que compartilham a opinião da maioria for maior ou igual a um limiar \(\theta_j = \theta_0 \cdot m_j\) (onde \(m_j\) é a ordem da hiperaresta \(e_j\)), isto é, se \(\max_{\sigma}\left|\mathcal{V}_t^i(e_j,\sigma)\right|\geq\theta_j\), então a hiperaresta é rotulada com o estado da maioria: \[\zeta_t^i(e_j) = \bar{\sigma} = \arg\max_{\sigma}\left|\mathcal{V}_{t}^{i}(e_j,\sigma)\right|;\]
- Caso contrário, ela é rotulada como despolarizada: \(\zeta_t^i(e_j)=0\), significando que não exerce influência na dinâmica;
Se \(\zeta_t^i(e_j)=s\) para todas as \(q\) hiperarestas selecionadas (ou seja, se todas as \(q\) hiperarestas estão polarizadas e compartilham exatamente o mesmo estado majoritário \(s\)), então o nó \(i\) adota o estado \(s\): \(\xi_{t+\delta t}(i)=s\);
Caso contrário, com probabilidade \(\varepsilon\), o nó \(i\) muda para um estado aleatório \(\xi_{t+\delta t}(i)=s^{\text{r}}\in\mathcal{S}\setminus\{\xi_t(i)\}\);
O tempo é incrementado por \(\delta t = -\frac{\ln u^{\text{r}}}{N}\), com \(u^{\text{r}}\sim \mathcal{U}(0,1]\).

Para uma rede de interações aos pares (pairwise network) — isto é, uma rede em que todas as hiperarestas têm ordem \(m=1\) — este modelo se reduz perfeitamente ao modelo \(q\)-voter padrão. Neste caso, cada hiperaresta pode ser escrita como \(e_j = \{i,k\}\), resultando trivialmente em \(\zeta_t^i(e_j) = \xi_t(k)\).