Apresentando o q-Voter
O modelo q-votante não-linear é apresentado no artigo de Castellano:
📄 Nonlinear q-voter model
Claudio Castellano, Miguel A. Muñoz, and Romualdo Pastor-Satorras
Physical Review E 80, 041129 (2009).
Regras do modelo
Tempo discreto: - A um dado tempo \(t\), escolha aleatoriamente um spin no nó \(i\); - Escolha aleatoriamente \(q\) vizinhos do nó \(i\) (com possibilidade de repetição); - Se todos os \(q\) vizinhos estiverem no mesmo estado, o spin original atualiza seu estado para aquele dos seus vizinhos; - Caso os \(q\)-vizinhos não estejam no mesmo estado, o spin original muda com probabilidade \(\varepsilon\); - O tempo é atualizado \(t\leftarrow t+1/N\).
Esta regra leva, naturalmente, à taxa de transição \(f\) de um determinado sítio \(i\). Sendo \(x\) a fração de vizinhos com spin diferente, então devemos levar em conta as probabilidades de: - selecionarmos \(q\) vizinhos com spin diferente de \(i\), \(x^q\); - selecionarmos \(q\) vizinhos com spin igual ao de \(i\), \((1-x)^q\).
Deste modo, \[f(x;q,\varepsilon) = x^q + \varepsilon\big(1 - x^q - (1-x)^q\big)\]. Utilizamos esta taxa para o algoritmo em tempo contínuo (Gillespie-like).
Processo de Markov em tempo contínuo, sendo \(N\) o tamanho da rede e \(\max_f=\max_x\left[f(x;q,\varepsilon)\right]\): - A um dado tempo \(t\), escolha aleatoriamente um spin no nó \(i\); - O spin de \(i\) flipa caso $f_i(x_i) r^_f $, com \(r^\text{r}\in[0,1)\), - O tempo é atualizado por \(t\leftarrow t + \log(1-u^\text{r})/(N\max_f)\), com \(u^\text{r}\in[0,1)\).
Situação atual do q-Voter na literatura
A revisão do Michele sobre dinâmica de opinião foi a principal referência para pesquisar sobre o status do modelo do q-voter na literatura atual:
📄 Opinion dynamics: Statistical physics and beyond
Michele Starnini, Fabian Baumann, Tobias Galla, David Garcia, Gerardo Iñiguez, Márton Karsai, Jan Lorenz, Katarzyna Sznajd-Weron
arXiv preprint arXiv:2507.11521 (2024/2026).
A questão é que o modelo original, tal como proposto por Castellano, não foi extensivamente estudado. Nos artigos que verifiquei, a maioria segue por dois caminhos principais: adotar \(\varepsilon=0\) ou adotar o modelo com repetição, que vamos chamar, aqui, de variante q-voter.
A variante foi originalmente proposta neste artigo: > 📄 Phase transitions in the q-voter model with two types of stochastic driving
> Piotr Nyczka, Katarzyna Sznajd-Weron, and J. Cisło
> Physical Review E 86, 011105 (2012).
A questão que o diferencia do q-voter original é fazer uma seleção de vizinhos sem repetição, fixando \(\varepsilon=0\) e adicionando um “ruído social” \(p\), para modelar conformismo ou anticonformismo do agente com o grupo social. A regra de atualização se torna: - Escolha aleatoriamente um agente \(i\); - Escolhem-se \(q\) vizinhos sem reposição; - Se os \(q\) vizinhos não forem unânimes, nada acontece (\(\varepsilon = 0\)). - Se os \(q\) vizinhos forem unânimes, o agente \(i\) reage: - Com probabilidade \(1-p\) (Conformismo), ele copia o grupo. - Com probabilidade \(p\) (Anticonformismo), ele adota a opinião oposta à do grupo.
Este modelo também tem uma variação para simular independência do agente em relação à rede: - Escolha aleatoriamente um agente \(i\); - Com probabilidade \(p\) (Independência), o agente ignora a rede e age aleatoriamente: ele muda de estado com probabilidade \(1/2\). - Com probabilidade \(1-p\) (Conformismo), o agente decide seguir o grupo: - Escolhem-se \(q\) vizinhos sem reposição. - Se todos os \(q\) vizinhos concordarem entre si e tiverem uma opinião diferente da de \(i\), o agente \(i\) copia a opinião deles. - Caso contrário (se não houver unanimidade ou se o grupo já concordar com \(i\)), nada acontece (\(\varepsilon=0\)).
Este segundo, chamaremos de variante q-voter com independência.
Ao que parece, a bibliografia posterior ao trabalho de Castellano deu preferência a este “segundo” q-voter. A tabela abaixo reúne vários artigos consultados, discriminando-os pelo modelo analisado, tipo de amostragem de vizinhos (com/sem repetição), topologia e métodos de estudo.
| Artigo | Modelo | Descrição (Diferenças vs. Original) | Amostragem | Topologias Avaliadas | Método de Simulação / Analítico |
|---|---|---|---|---|---|
| Castellano et al. (2009) | q-voter original | Modelo base (ruído \(\varepsilon\) apenas se o grupo discordar). | Com reposição | Grafo Completo, Redes 1D e 2D. | Tempo Discreto (assíncrono) / Mean-Field (Fokker-Planck) |
| Pugliese & Castellano (2009) | Voter model clássico | \(q=1\) (ruído \(\varepsilon\) não se aplica). | N/A (\(q=1\)) | Configuration Model (UCM), Erdős-Rényi. | Tempo Discreto / Heterogeneous Pair Approx. (HPA) |
| Nyczka et al. (2012) | variante q-voter | O marco da bifurcação: Zera \(\varepsilon\) original e introduz ruído \(p\) (independência vs. anticonformismo). | Sem reposição | Grafo Completo. | Analítico / Equação Mestra (Landau) |
| Moretti et al. (2013) | q-voter original | Mantém o modelo original e estende a teoria para redes. | Com reposição | Random Regular (RRN), HMF teórico. | Tempo Discreto / Heterogeneous Mean-Field (HMF) |
| Javarone & Squartini (2015) | variante q-voter | Fixa \(q=4\) e \(\varepsilon=0\). Agentes fixos (quenched) conformistas e não-conformistas. | Aleatória | Erdős-Rényi, Barabási-Albert, Watts-Strogatz. | Tempo Discreto |
| Jędrzejewski et al. (2016) | variante q-voter com independência | Usa o parâmetro \(p\) herdado de Nyczka. Testa diferentes formas de formar a vizinhança. | Sem reposição | Rede Quadrada, Watts-Strogatz, Barabási-Albert. | Tempo Discreto |
| Jędrzejewski (2017) | variante q-voter com independência | Ruído global de independência \(p\) (annealed). | Sem reposição | Erdős-Rényi, Barabási-Albert, Watts-Strogatz, RRG. | Tempo Discreto (assíncrono) / Aproximação de Pares (PA) |
| Gradowski & Krawiecki (2020) | variante q-voter com independência | Regras condicionais para decisão entre diferentes camadas da rede. | Sem reposição | Redes Multiplex (RRG, ER, Scale-Free). | Tempo Discreto / PA Homogênea, Mean-Field |
| Jędrzejewski & Sznajd-Weron (2022) | variante q-voter com independência | Compara o ruído “quenched” (agentes fixos) com “annealed” (todos com prob. \(p\)). | Sem reposição | Random Regular (RRG), Barabási-Albert (BA). | Tempo Discreto / Aproximação de Pares (PA) |
| Fardela et al. (2025) | variante q-voter com independência (Mídia) | Fixa \(\varepsilon=0\). O agente adota o estado \(+1\) com prob. \(p\) se o painel não for unânime. | Com reposição | Barabási-Albert (BA). | Tempo Discreto / Finite-Size Scaling |
| Lipiecki & Sznajd-Weron (2025) | variante q-voter | Extensão Multiestado (\(S>2\)) focada em anticonformismo (\(p\)). Fixa \(\varepsilon=0\). | Sem reposição | RRG, Barabási-Albert, Watts-Strogatz. | Tempo Discreto / Aproximação de Pares (PA) |
| Starnini et al. (2024) | Review | Destaca a distinção matemática e topológica entre as dezenas de variantes. | Ambas | Revisão geral da literatura. | Revisão da Literatura |
| [Nosso Trabalho] | q-voter original | Estudo do modelo original em redes complexas. | Com reposição | Scale-free, Erdős-Rényi, RRN. | Tempo Contínuo (Gillespie) |
Outra coisa importante de destacar é a quantidade de modelos diferentes genericamente chamados pelo mesmo mesmo nome, q-voter ou nonlinear q-voter. Para verificar, de fato, de qual modelo se trata num dado trabalho, é necessário olhar como é definido o modelo utilizado. A revisão do Michele dedica duas seções inteiras (IV.A.2 e IV.B.3) para organizar a vasta família que deriva do original, da qual apresento um resumo na tabela abaixo.
| Variante / Nome na Literatura | Artigo Original (citado na Revisão) | Diferenças vs. q-Voter Original (Castellano 2009) |
|---|---|---|
| Nonlinear q-voter original | Castellano et al. (2009) | O painel de tamanho \(q\) é amostrado com reposição. O ruído \(\varepsilon\) só atua se o painel não for unânime. |
| Noisy nonlinear voter / q-voter com independência | Nyczka et al. (2012), Peralta et al. (2018) | O ruído de mudança de opinião ocorre com uma taxa constante \(p\) (“independência”), mesmo se o painel concordar. Isso destrói os estados absorventes do modelo original. Geralmente usa amostragem sem reposição. |
| q-voter com anticonformismo | Nyczka et al. (2012) | Amostragem sem reposição. Se o painel for unânime, o agente tem uma probabilidade \(p\) de adotar a opinião oposta à do painel (anticonformismo). Se não for unânime, nada acontece (\(\varepsilon=0\)). |
| Nonlinear voter model (com \(q\) real) | Vazquez et al. (2010) | O parâmetro \(q\) deixa de representar um número inteiro de vizinhos consultados e passa a ser um expoente real contínuo. Para \(q<1\), a dinâmica favorece minorias (coexistência); para \(q>1\), favorece a maioria. |
| Threshold q-voter | Nyczka & Sznajd-Weron (2013), Vieira & Anteneodo (2018) | Relaxa a regra de unanimidade: o agente é influenciado se apenas um subgrupo \(q_0 \le q\) concordar. Gera um diagrama de fases ainda mais complexo. |
| Asymmetric q-voter | Doniec et al. (2025), Mullick & Sen (2025) | Quebra a simetria clássica (up/down) introduzindo um viés explícito em direção a uma das opiniões. A probabilidade de saída (exit probability) deixa de ter a forma clássica em “S”. |
| Multistate q-voter | Nowak & Sznajd-Weron (2022), Lipiecki & Sznajd-Weron (2025) | Estende o modelo para \(G\) opiniões (estados) não-ordenados. Introduz transições de fase descontínuas em versões com ruído estático (quenched disorder). |
Ponto de partida
Como o modelo de interesse é, por assim dizer, negligenciado pela literatura, o ponto de partida são os artigos que estudam as propriedades centrais do q-voter, tanto em reticulados \(\mathbb{Z}^d\) quanto com teorias de campo médio:
📄 Nonlinear q-voter model
Claudio Castellano, Miguel A. Muñoz, and Romualdo Pastor-Satorras
Physical Review E 80, 041129 (2009).
📄 Mean-Field Analysis of the q-Voter Model on Networks
Paolo Moretti, Suyu Liu, Claudio Castellano, and Romualdo Pastor-Satorras
Journal of Statistical Physics 151, 113–130 (2013).
Assim, é necessário estudar tanto a implementação em reticulados quanto em redes complexas. Este par de artigos oferece uma base para guiar o que estudar.
Os trabalhos anteriores ao de Castellano que caracterizam a dinâmica de um possível modelo do votante não-linear são: > Primeiro trabalho sobre generalizações não-lineares do modelo do votante. >> 📄 Nonlinear Voter Models
> J. T. Cox and R. Durrett
> Em: Random Walks, Brownian Motion, and Interacting Particle Systems: A Festschrift in Honor of Frank Spitzer (Birkhäuser, Boston, MA), pp. 189–201 (1991).
Solução exata do modelo do votante (linear). > 📄 Exact results for kinetics of catalytic reactions
L. Frachebourg and P. L. Krapivsky
Physical Review E 53, R3009(R) (1996).
Definição da classe de universalidade GV. > 📄 Critical Coarsening without Surface Tension: The Universality Class of the Voter Model
Ivan Dornic, Hugues Chaté, Jérôme Chave, and Haye Hinrichsen
Physical Review Letters 87, 045701 (2001).
Equação de Langevin para a classe de universalidade GV. > 📄 Langevin Description of Critical Phenomena with Two Symmetric Absorbing States
Omar Al Hammal, Hugues Chaté, Ivan Dornic, and Miguel A. Muñoz
Physical Review Letters 94, 230601 (2005).
Equação de Langevin a partir de hipóteses de simetria > 📄 Systems with two symmetric absorbing states: Relating the microscopic dynamics with the macroscopic behavior
Federico Vazquez and Cristóbal López
Physical Review E 78, 061127 (2008).
Quantidades e definições
Dada uma rede \(\big(V,E\big)\) com \(N\) nós e matriz de adjacência \(A_{ij}\), definimos: - Estados de spin no tempo \(t\), \[\xi_t:V\to\lbrace -1,1\rbrace,\]e.g. o estado do nó i: \(\xi_t(i)=\pm1\); - Atividade da aresta (matriz de atividade) no tempo \(t\), \[\chi_t:E\to\lbrace 0,1\rbrace,\] com a lei de formação \[\chi_t\left(A_{ij}\right) = \begin{cases}0\cdot A_{ij},\,\text{ caso }\xi_t(i)=\xi_t(j)\,,\text{ e}\\ 1\cdot A_{ij}\,,\text{ caso }\xi_t(i)\not=\xi_t(j)\end{cases};\] - Magnetização média por spin, \[\phi(t)=\frac{1}{N}\sum_{i\in V}\xi_t(i);\] - Densidade de vértices ativos, \[\rho(t) = \frac{1}{||E||}\sum_{\eta\in E}\chi_t(\eta);\] - Tempo de saída, \(\tau\): tempo (Markov) necessário para a rede atingir o consenso em simulações com tamanho finito.
Nos interessa diferenciar os comportamentos assintóticos possíveis do modelo. Podemos ter a ocorrência de:
- Clustering/consenso (fase ordenada/ferromagnética): dado dois nós diferentes \(i\) e \(j\) da rede, temos \[\lim_{t\to\infty}\text{P}\big[\xi_t(i)\not=\xi_t(j)\big]\to0;\]
- Coexistence/fragmentação (fase desordenada/paramagnética): caracterizada pela existência de uma distribuição estacionária com quantidades macroscópicas de sítios nos estados -1 e +1.
Assim, adotando a notação \(_\infty\) para grandezas assintóticas (isto é, medidas em \(t\to\infty\)), definimos, também: - Probabilidade de consenso: probabilidade de termos \(\sum_i^N|\xi_\infty(i)|=N\), de modo que é equivalente ao valor esperado de \(\phi_\infty=\pm1\), \(\mathrm{E}\big[\phi_\infty=\pm1\big]\), e ao valor esperado \(\rho_\infty=0\), \(\mathrm{E}\big[\rho_\infty=0\big]\); - Probabilidade de saída: probabilidade de termos \(\sum_i^N\xi_\infty(i)=N\), isto é, do sistema chegar ao estado de consenso +1, equivalente a \(\mathrm{E}\big[\phi_\infty=1\big]\).
Desse modo, a ocorrência de clustering é caracterizada por \(\mathrm{E}\big[\phi_\infty=\pm1\big]\to 1\), enquanto a ocorrência de coexistence, por \(\mathrm{E}\big[\phi_\infty=\pm1\big]\to 0\); ou, ainda, respectivamente, \(\mathrm{E}\big[\phi_\infty=\text{sgn}(\phi_0)\big]=1\) e \(\mathrm{E}\big[\phi_\infty=\pm1\big]=0\).