Generalizando o modelo para valores fracionários de q
O modelo do \(q\)-Voter é resumido em um conjunto de cinco regras, a saber:
- Escolher aleatoriamente um agente focal, \(i \in \mathcal{V}\);
- Escolher, ao acaso, \(q\) vizinhos do sítio \(i\) com possibilidade de repetição (com reposição);
- Se todos os \(q\) vizinhos estiverem no mesmo estado, o agente focal copia a opinião desses \(q\) vizinhos;
- Caso contrário, o spin original inverte seu estado (sofre flip) com probabilidade \(\varepsilon\);
- O tempo é atualizado.
Essas regras levam a uma taxa de transição (flip rate) não-linear como função da fração \(x\) de vizinhos discordantes: \[ f(x;q,\varepsilon) = x^q + \varepsilon\big(1 - x^q - (1-x)^q\big)\,. \] Essa taxa é bem definida para valores reais de \(q\), muito embora o modelo em si não seja.
A ideia, então, é modificar a regra de amostragem (sampling) da vizinhança por um processo estocástico. Ou seja, sorteamos um número \(n \sim P(n)\) de vizinhos, onde \(P(n)\) possui média \(q\), \(\langle n \rangle = q\). Ao fazer isso, conseguimos generalizar o modelo para qualquer valor real \(q > 1\). De fato, como uma breve demonstração, considere um \(q \in \mathbb{R}\) não inteiro. Definimos \(P(n)\) como Poisson: \[ P(n) = \frac{q^n e^{-q}}{n!}\,, \] que dá \(\langle n \rangle = q\) para qualquer \(q > 1\). Por outro lado, recuperamos o modelo original fazendo \(P(n) = \delta_{n,q}\), para \(q\) inteiro.
Assim, temos uma versão modificada que pode ser descrita pelas regras:
- Escolher aleatoriamente um agente focal, \(i \in \mathcal{V}\);
- Escolher, ao acaso, \(n \sim P(n)\) vizinhos do sítio \(i\) com possibilidade de repetição;
- Se todos os \(n\) vizinhos estiverem no mesmo estado, o agente focal copia a opinião desses \(n\) vizinhos;
- Caso contrário, o spin original inverte seu estado com probabilidade \(\varepsilon\);
- O tempo é atualizado.
Para cada \(n\), a taxa \(f\), em termos da fração \(x\) do agente focal, é \[ f(x;n,\varepsilon) = x^n + \varepsilon\big(1 - x^n - (1-x)^n\big)\,. \] Com isso, conseguimos obter a taxa global do novo sistema de regras com uma soma das taxas \(f\) para cada valor \(n\) ponderadas pela frequência \(P(n)\): \[ Q(x;q,\varepsilon) = \sum_{n=1}^\infty P(n)f(x;n,\varepsilon)\,. \] Assim, nosso modelo modificado é completamente caracterizado pelo par \(P(n)\) e \(f(x;n,\varepsilon)\). Com isso, passamos à demonstração de diversos resultados.
O novo sampling não altera a classe de universalidade
Pela simetria \(Z_2\), o modelo original tem as propriedades da “força de deriva”:
- \(v(x)=-v(1-x)\)
- \(v(x=1)=v(x=0)=0\). Escrevendo, então, \[ v_n(x) = (1-x)f(x;n,\varepsilon)-xf(1-x;n,\varepsilon)\,, \] temos a nova “força de deriva”: \[ \begin{align*} v_q(x) =& (1-x)Q(x;q,\varepsilon)-xQ(1-x;q,\varepsilon) = \\ & \sum_{n=1}^\infty P(n)(1-x)f(x;n,\varepsilon)-P(n)xf(1-x;n,\varepsilon) = \\ & \sum_{n=1}^\infty P(n)\left[ (1-x)f(x;n,\varepsilon)-xf(1-x;n,\varepsilon) \right] = \\ & \sum_{n=1}^\infty P(n)v_n(x)\,. \end{align*} \] Finalmente: \(v_q(x) = \sum_{n=1}^\infty P(n)v_n(x) = \sum_{n=1}^\infty -P(n)v_n(1-x) = - v_q(1-x)\) e \(v_q(x=1) = \sum_{n=1}^\infty P(n)v_n(x=1) = \sum_{n=1}^\infty P(n)v_n(x=0) = v_q(x=0) = 0\), terminando a demonstração.
Em outras palavras, a classe GV é fechada por transformações do tipo \(f(x)\to Q(x) = \sum_{n=1}^\infty P(n)f(x)\), desde que \(P(n)\) tenha média positivamente definida.