Classe de universalidade GV
O modelo q-Voter faz parte de uma classe de universalidade específica, a chamada Generalized Voter (GV), da qual falamos nesta seção. A ideia é construí-la de duas formas: a partir da teoria de Ginzburg-Landau para processos fora do equilíbrio (stochastic Ginzburg-Landau equation, também chamado de field Langevin equation); e a partir da equação mestra com a formulação de Fokker-Planck (Master’s equation).
Na primeira abordagem partimos da teoria geral de transições de fase descrita por Hohenberg e Halperin. Na segunda, utilizamos o ferramental da Equação Funcional de Smoluchowski da Teoria de Campos. Os resultados são idênticos, embora a primeira dê interpretações globais (top to bottom) da classe e a segunda, interpretações locais (bottom to top) — daí o porquê uma enriquecer a outra.
Construindo a classe GV pela perspectiva de Ginzburg-Landau (TDGL)
Dado um sistema com dinâmica puramente relaxacional — isto é, sem nenhuma quantidade conservada —, podemos estudar sua transição de fase usando a abordagem de Ginzburg-Landau Dependente do Tempo (TDGL). Estamos interessados em estudar as transições de fase em um modelo com parâmetro de ordem \(\phi(\mathbf{x},t)\) (onde \(\phi \in [-1, 1]\) representa a magnetização local) sujeito a apenas duas regras restritivas:
- O modelo possui simetria \(Z_2\), ou seja, as regras dinâmicas são invariantes sob a transformação \(\phi \to -\phi\);
- O modelo possui dois estados absorventes perfeitamente ordenados, \(\phi=-1\) e \(\phi=1\). Uma vez que o sistema alcança um desses estados, ele não pode mais evoluir.
Este modelo generaliza o modelo clássico do Votante (Voter model) em uma classe que chamaremos de Votante Generalizado (GV, do inglês Generalized Voter).
Nosso objetivo, então, é postular uma equação de Langevin para \(\phi\), \[ \partial_t\phi = -\frac{\delta F}{\delta \phi} + \sigma(\phi)\theta(t)\,, \] onde \(F\) é um funcional de \(\phi\) (que corresponde, na teoria de equilíbrio térmico, à energia livre de Ginzburg-Landau), \(\theta(t)\) é um ruído gaussiano e \(\sigma(\phi)\) é um termo multiplicativo (nosso sistema nunca atinge o equilíbrio, já que temos dois estados absorventes).
Derivando o potencial
Para que o potencial \(F\) seja invariante sob \(\phi\to-\phi\), ele só pode conter potências pares de \(\phi\). Tomando como ponto de partida a energia livre do modelo de Ising padrão: \[ F_{\text{Ising}}[\phi] = \int\mathrm{d}^dx\left\lbrace \frac{r_0}{2}\phi^2 + \frac{1}{2}\big|\nabla\phi\big|^2+u_0\phi^4\right\rbrace\,, \] ou seja, \[ \partial_t\phi = -r_0\phi - 4u_0\phi^3 + \nabla^2\phi + \sigma(\phi)\theta(t)\,, \] fazemos uma modificação (ad hoc) fundamental para a garantia da existência dos estados absorventes: o termo \(r_0\phi+4u_0\phi^3\) deve ser substituído por \(\big(a\phi-b\phi^3\big)\big(1-\phi^2\big)\), e obtemos o funcional: \[ F[\phi] = \int\mathrm{d}^dx\left\lbrace -\frac{a}{2}\phi^2 + \frac{a+b}{4}\phi^4 - \frac{b}{6}\phi^6 + \frac{D}{2}\big|\nabla\phi\big|^2\right\rbrace\,. \]
Resta-nos definir a amplitude do ruído \(\sigma(\phi)\). Como a dinâmica ocorre na interface entre spins “up” e “down”, num dado volume \(\mathbf{x}\mathrm{d}^dx\), a probabilidade de encontrarmos uma configuração +- ou -+ é proporcional ao termo: \[ \left(\frac{1+\phi}{2}\right)\times\left(\frac{1-\phi}{2}\right)\,. \] Assim, a atividade do sistema envolve termos do tipo \((1-\phi^2)\).
Derivando a amplitude do ruído
Lembramos que num processo de Poisson a atividade média – o número de eventos \(N(t)\) – num intervalo \(\delta t\), é igual à variância da distribuição: \[ \text{Atividade} = \mathrm{E}\left[N(t)^2-\mathrm{E}[N(t)]^2\right] \propto (1-\phi^2)\,. \] Finalmente, concluímos que a amplitude do ruído deve ser do tipo \(\sigma(\phi)=\sigma\sqrt{1-\phi^2}\). De fato, \(\sigma(+1)=\sigma(-1)=0\), como esperado (não há atividade nos estados absorventes).
Chegamos, assim, à equação de Langevin da classe GV: \[ \partial_t\phi = \big(a\phi-b\phi^3\big)\big(1-\phi^2\big)+ D\nabla^2\phi + \sigma\sqrt{1-\phi^2}\,\theta(t)\,. \] Esta equação é somente para encontrar o comportamento da transição de fase da nossa classe; de qualquer forma, mesmo longe da barreira crítica, o termo de deriva (drift) deve manter as propriedades da simetria \(Z_2\): \(v(\phi)=-v(-\phi)\) e \(v(1)=v(-1)=0\).
Construindo a classe GV pela perspectiva de Fokker-Planck (FPFE)
Preciso estudar isso. :)