Mean Field
Com esta taxa, podemos construir uma teoria de campo médio. Para simplificar, começamos considerando \(\mathcal{S}=\{-1,1\}\), com \(x\) representando a fração de nós na rede no estado +1. Sabemos que a equação mestra para este sistema pode ser escrita como: \[ \dot{x} = W_{-1\to1}(x) - W_{1\to-1}(x) = (1-x)\cdot\mathrm{P}(-1\to1)-x\cdot\mathrm{P}(1\to-1)\,. \]
Aqui, vamos recorrer novamente à probabilidade condicional. A probabilidade de uma hiperaresta estar no estado +1 dado que ela tenha ordem \(m\) é: \[ P(+1|m) = \frac{\mathrm{P}(+1\cap m)}{\mathrm{P}(m)} \implies \mathrm{P}(+1\cap m) = \mathrm{P}(+1|m)\mathrm{P}(m)\,. \] Vejamos que o evento de sortear uma hiperaresta qualquer no \(+1\) pode ser particionado nos eventos disjuntos de sortearmos uma hiperaresta de ordem \(m\) no estado \(+1\); isto é, se somarmos sobre todas as ordens \(m\) e usarmos a relação acima escrevendo \(\pi_{+1}(x)\) como esta probabilidade em função da fração global \(x\): \[ \pi_{+1}(x) = \sum_{m}\mathrm{P}(+1\cap m) = \sum_{m}\mathrm{P}(+1|m)\mathrm{P}(m)\,, \] em que \(\mathrm{P}(m)\) é a probabilidade de sortearmos uma hiperaresta de ordem \(m\) qualquer.
A probabilidade \(\mathrm{P}(+1|m)\) pode ser determinada somando sobre cada configuração possível de uma hiperaresta de ordem \(m\) que leve ao estado +1. Como o limiar é \(\theta(m) = \lceil\theta_0\cdot m\rceil\), qualquer configuração dada por \(k\geq\theta(m)\) nós no estado +1 pode ser aceita. Levando em conta a degenerescência de cada um destes estados, temos: \[ \mathrm{P}(+1|m) = \sum_{k=\theta(m)}^m \binom{m}{k}x^k(1-x)^{m-k}\,. \] Finalmente, fazendo \(\pi_{+1}^{(m)}(x) = \mathrm{P}(+1|m)\) e \(\pi_{+1}(x) = \mathrm{P}(+1)\), temos: \[ \pi_{+1}(x) = \sum_{m}\mathrm{P}(m)\pi_{+1}^{(m)}(x) = \sum_{m}\mathrm{P}(m)\sum_{k=\theta(m)}^m \binom{m}{k}x^k(1-x)^{m-k}\,. \]
É imediato que \(\pi_{-1}(x) = \pi_{+1}(1-x)\). Logo, as taxas globais são: \[ \begin{align*} & \mathrm{P}(-1\to1) = f(\pi_{+1}(x);q,\varepsilon) = \pi_{+1}^q(x) + \varepsilon\cdot\left(1-\pi_{+1}^q(x)-\pi_{+1}^q(1-x)\right)\,;\\ & \mathrm{P}(1\to-1) = f(\pi_{-1}(x);q,\varepsilon) = \pi_{+1}^q(1-x) + \varepsilon\cdot\left(1-\pi_{+1}^q(x)-\pi_{+1}^q(1-x)\right)\,. \end{align*} \] Finalmente, \[ \dot{x} = (1-x)\pi_{+1}^q(x) + (1-x)\varepsilon\cdot\left(1-\pi_{+1}^q(x)-\pi_{+1}^q(1-x)\right) - x \pi_{+1}^q(1-x) - x\varepsilon\cdot\left(1-\pi_{+1}^q(x)-\pi_{+1}^q(1-x)\right)\,, \] ou, agrupando os termos: \[ \dot{x} = \pi_{+1}^q(x) - x\left[ \pi_{+1}^q(x) + \pi_{+1}^q(1-x)\right] + \varepsilon(1 - 2x)\left[1 - \pi_{+1}^q(x) - \pi_{+1}^q(1-x)\right]\,. \]
Até agora, trabalhamos com a fração de nós no estado +1, \(x\in[0,1]\). Interessa transformar esta variável para a magnetização do sistema, \(\phi\in[-1,1]\); claramente: \[ \phi = (+1)\cdot x + (-1)\cdot(1-x) = 2x-1\,. \] Definindo a notação \[ \Pi(\phi) := \pi_{+1}(x) = \pi_{+1}\left(\frac{1+\phi}{2}\right)\,, \] temos: \[ \begin{align*} \frac{\dot{\phi}}{2} &= \Pi^q(\phi) - \left(\frac{1+\phi}{2}\right)\left[ \Pi^q(\phi) + \Pi^q(-\phi)\right] + \varepsilon(-\phi)\left[1 - \Pi^q(\phi) - \Pi^q(-\phi)\right]\,\implies\\ \implies\dot{\phi} &= \Pi^q(\phi) - \Pi^q(-\phi) - \phi\Big\{ \Pi^q(\phi) + \Pi^q(-\phi) + 2\varepsilon \left[ 1 - \Pi^q(\phi) - \Pi^q(-\phi) \right] \Big\}\,. \end{align*} \] Assim, temos a seguinte equação: \[ \dot{\phi} = \underbrace{\Big[ \Pi^q(\phi) - \Pi^q(-\phi) \Big]}_{\text{Termo Ímpar}} - \phi \underbrace{\Big\{ \Pi^q(\phi) + \Pi^q(-\phi) + 2\varepsilon \left[ 1 - \Pi^q(\phi) - \Pi^q(-\phi) \right] \Big\}}_{\text{Termo Par}}\,. \] Veja que, escrevendo assim, como a soma de um termo ímpar e um termo par multiplicado por \(\phi\), evidenciamos duas propriedades-chave desta equação:
- Simetria \(Z_2\): \(\dot\phi(-\phi) = -\dot\phi(\phi)\);
- Estados absorventes em \(\phi=\pm1\): \(\dot{\phi}(\phi=1) = \dot{\phi}(\phi=-1) = 0\);
isto é, ela mantém as características da classe GV.
Podemos estudar as transições de fase fazendo \(\dot{\phi}=0\).
Hipergrafo \(m\)-uniforme (???)
Consideramos um hipergrafo em que todos os nós estão ligados entre si por hiperarestas de ordem \(m\). Isto é: todas as interações desta rede têm mesma ordem (fixa) \(m\) e todos os nós estão ligados entre si. Deste modo, \(\pi_{+1}^{(m^\prime\not=m)}(x)=0\), isto é, \(\Pi(x) = \pi_{+1}^{(m)}(x)\). O termo de drift fica: